ندرس في هذا البحث فضاء الطاقة الموافق لمؤثر هرميت التفاضلي , و نبين أنه فضاء هيلبرت مع جداء داخلي مناسب، و هو فضاء جزئي من الفضاء .
ثم ندرس قوى هذا المؤثر , حيث نشكل بالاعتماد على النظرية الطيفية , و نبين أن المؤثر له خواص مشابهة للمؤثر من أجل عدد
حقيقي موجب s.
لذلك يمكن تشكيل فضاءات هيلبرت جديدة , هي بنفس الوقت فضاءات الطاقة لقوى المؤثر , و هي من نمط فضاءات سوبوليڤ.
نقوم في هذا البحث بإثبات صحة المتراجحة
علما بأن للدالة في الفضاء ، و معامل الاستمرار من الدرجة الثانية.
كما نقوم بإثبات صحة المتراجحة : من أجل أي دالة تتحقق المتراجحة
و تم اثبات صحة المبرهنة : من أجل أي عدد طبيعي تتحقق المساواة
حيث أن أحد الأقطار المعرفة في البحث
تكمن اهمية البحث في التعريف بمبادئ الهندسة التحليلية في مستوي
لوباتشيفسكي و التي تختلف عن المبادئ المعروفة في المستوي الإقليدي و قد تم
إيجاد طول المنحنيات ثابتة التقوس و طول دائرة و طول قوس منها مقابل
لزاوية مركزية ، كما تم التوصل إلى صيغة للتعبير
عن المسافة بين نقطتين ثم
كتابة معادلة مستقيم يمر بمبدأ الإحداثيات و معادلة مستقيم لا يمر بمبدأ
الإحداثيات و كذلك معادلة دائرة ، و قد استخدمنا لذلك احداثيات بلترامي التي
جعلت الصيغ بسيطة .
قدمنا في هذا البحث، أربعة أنواع جديدة من المجموعات المفتوحة و المغلقة في
الفضاءات التبولوجية الثلاثية، حيث أدخلنا تعريف المجموعات المفتوحة من النمط Nα
و المجموعات المغلقة من النمط Nα في الفضاءات التبولوجية الثلاثية، و عرفنا
المجموعات المفتوحة م
ن النمط Sα, و المجموعات المغلقة من النمط Sα في هذه
الفضاءات، و درسنا الخصائص الأساسية لهذه الأنواع الجديدة من المجموعات، و أوجدنا
العلاقة بينها و بين المجموعات المفتوحة، المغلقة في هذه الفضاءات التبولوجية الثلاثية.
ثم استخدمنا هذا المفهوم الجديد للمجموعات المفتوحة و المغلقة في تعريف لصاقة و داخلية
مجموعة، حيث عرفنا لصاقة و داخلية مجموعة من النمط Nα و ذلك بالاعتماد على هذه
الأصناف الجديدة من المجموعات المفتوحة و المغلقة، و أوجدنا الخصائص الأساسية
للصاقة و الداخلية من النمط Nα.
أوجدنا في هذا البحث، نوعاً جديداً من المجموعات المفتوحة و المجموعات المغلقة في
الفضاءات التبولوجية الثنائية.
