الحلقة نصف التامة التي هي ممدد لمودول بسيط

نقول عن المودول اليمين M فوق الحلقة R إنه CS – مودول إذا كان كل مـودول جزئـي مـن M أساسياً في مجموع مباشر لـ M . و نقول عن الحلقة R إنها CS – حلقة يمينية إذا كانت R كمودول يميني على نفسها هي CS –مودول (9) . في هذه المقالة ندرس الحلقات نصف التامة و التي من أجلها كل مودول يميني بـسيط هـو مـودول أساسي في مجموع مباشر لـ R . ندعو هذه الحلقات بأنها ممدد للمودول البسيط فوق R .و هنا نجد أنه من أجل هـذه الحلقـات كـل مودول بسيط فوق R هو أفقي بضعف عندما وفق عندما تكون الحلقة R مودولاً أفقي بضعف و هذا يكافئ أيضاً إن الحلقة R نصف بسيطة بضعف. و قد تم بناء أمثلة لمودولات بسيطة و التي من أجلها يكون المودول البسيط أساسياً في مجموع مباشر لها.

Any right R-module M is called a CS-module if every submodule of M is essential in a direct summand of M. A ring is said to be CS-ring if R as a right R-module is CS [9]. In this paper we study semiperfect ring in which each simple right R-module is essential in a direct summand of R. We call such ring as a extending for simple R-module. Here we find that for such rings, every simple R-module is weakly-injective if and only if R is weakly-injective if and only if R is self-injective if and only if R is weakly-semisimple. Examples are constructed for which simple R-module is essential in a direct summand.