I - شبه الجمودية و توتال المودولات

الهدف من هذا العمل هو دراسة التوتال hom (M,N) R بالنظر إليه كبنية جزئية من المودول وذلك لأجل أي مودولين R M and R N . أحد الأسئلة المطروحة هو متى يكون التوتال يساوي hom (N, J (N)) R , أي متى يكون حيث N هي حلقة التشاكلات للمودول.

المودولات الإسقاطية المحلية و الأفقية المحلية (II)

الهدف من هذا البحث هو دراسة المودولات الإسقاطية المحلية و الأفقية المحلية. بشكل خاص، تعد هذه الورقة متابعة لدراسة المودولات الإسقاطية و الأفقية المحلية للحصول على وصف جديد لهذه المودولات.

المودولات الإسقاطية المحلية و الأفقية المحلية

الهدف من هذا البحث هو دراسة حلقات التشاكل للمودولات الإسقاطية المحليـة و الأفقيـة المحليـة. بشكل خاص، تعد هذه الورقة متابعة لدراسة حلقات التشاكل للمودولات الإسقاطية و الأفقية المحلية لكـي تكون هذه الحلقات شبه جامدة.

حول الحلقات و المودولات (∆ − ,∇ − ,I−) شبه الجامدة و التوتال

ليكن N, M مودولين فوق الحلقة R . إن الغاية من هذه الورقة هو متابعة دراسة البنـى الجزئيـة مثل الأساس و المثالي المنفرد و المثالي المنفرد الثنوي و التوتـال. نتـائج R للمودول (N , M (hom جديدة تم الحصول عليها فعلى سبيل المثال تم إيجاد الشرط اللازم و الكافي كي يكون التوتال لحلقـة مـا يساوي مثالياً معيناً لهذه الحلقة.

حلقة التشاكلات للمودولات

موضوع هذا البحث هو متابعة دراسة الـ I- حلقات من اليمـين و تعمـيم هـذا المفهـوم علـى المودولات. نقول عن حلقة ما: إنها I- حلقة من اليمين إذا حوى كل عادم يمينـي لأي عنـصر منهـا عنصراً جامداً مغايراً للصفر. و قد عمم هذا المفهوم على المودولات الإسقاطية. سوف نقول عن المودول الإسقاطي المغاير للصفر إنه I- مودول إذا كان كل مودول جزئي منه و مغاير للصفر يحوي حداً مباشراً مغايراً لصفر هذا المودول.

الـ I1 ـ حـلقـات

إن موضوع هذا البحث هو إلقاء الضوء على بعض خواص الـI1 - حلقات مـن اليمـين و وصـف الحلقة التي من أجلها تكون حلقة التشاكلات لأي مودول حر فوقها هي I1 – حلقة من اليمـين. بالإضـافة إلى ذلك إيجاد الشرط اللازم و الكافي كي تكون حلقة التشاكلات لأي مودول حر هي I1 - حلقة من اليمين. سوف نقول عن حلقة ما: إنها I1 -حلقة من اليمين إذا حوى العادم اليميني لأي عنـصر منهـا عنـصراً جامداً مغايراً للصفر، و قد أُثبت ما يأتي: إذا كانت حلقة التشاكلات لأي مودول حر فوق حلقـة مـا، I1– حلقة من اليمين فإن كل مثالي يميني في هذه الحلقة يحوي مثالاً يمينياً إسقاطياً. كذلك أُثبـت مـا يـأتي: الشرط اللازم و الكافي كي تكون حلقة التشاكلات لأي مودول حر فوق حلقة ما، I1 - حلقة من اليمين هو أن تكون حلقة التشاكلات لأي مودول حر هي حلقة بيير المعممة من اليمين.

حلقـات بيـر المعممـة

موضوع هذا البحث هو دراسة العلاقة بين حلقة ماR و بين حلقة الإندومورفيزمات لمـودول حـرF، فوق هذه الحلقة. و بشكل خاص فقد تم وصف الحلقة التي تكون لأجلها حلقة الإندومورفيزمات لأي مودول حر فوقها، و هي حلقة بير المعممة. حيث تم إثبـات أن الـشرط الـلازم و الكـافي لكـي تكـون حلقـة الإندومورفيزمات لمودول حر حلقة بير هو أن يحوي كل مودول جزئي مغلق من هذا المودول الحر حـداً مباشراً. كذلك فقد تم إثبات أنه إذا كانت حلقة الاندومورفيزمات لمودول حر F حلقة بير المعممة, فإن كـل مودول جزئي دون فتل من F يحوي مودولاً إسقاطياً.