On Lattices of Radical Rings

سميت البنى الجبرية باسمها لأنها تبنى بعضها فوق بعض، فمثلاً لا حديث عن الحلقة دون الحديث عن الزمرة ولا حديث عن الزمرة دون الحديث عن المجموعة وهكذا.... وقد تم تطوير هذه المفاهيم الجبرية وأدخلت مفاهيم جديدة كمفهوم الشبكة، ويعتبر هذا المفهوم من المفاهيم الرياضية الحديثة، برع فيها الباحث (جورج بول) George Boole وذلك في دراسته للمنطق الرياضي عام 1850 وعرَّف عندئذٍ بنية بول وبعد ذلك جاء (م.ش.ستون) M.H.Stone فأدخل مفهوماً جديداً للشبكة وبعد ذلك كتب العديد من الباحثين في هذا المجال. وتعتبر الشبكات بشكلها العام من الدراسات المنطقية للبنى الجبرية وما إنشاء المخططات الخاصَّة للشبكات إلا لإعطاء تصور أفضل عن البنية الجبرية المدروسة وقد تم تطوير ذلك عن طريق الحاسب وتمت مؤخراً دراسة ورسم الشبكات برمجيا. كما أدخل مفهوم الأساس أو الجذر في الحلقات على الرغم من أن الفكرة الأساسية لتعريف الأساس تعود إلى (ويديربورن) Wedderburn عام1908، ولكن يمكن القول أن نشوء نظرية الأسس كان في عام 1930 عندما قدم (كوث) Köthe الأساس المعدوم للحلقات في [8]. وفي العقدين التاليين قدم علماء الجبر نجاحات بارزة. بين عامي 1952 و 1958 وضع كل من (أميتسور) Amitsur،(كوروش) Kurosh و(أندروكافيتش) Andrunakievich التعريف العام للأسس وأثبتوا النتائج الأساسية المتعلقة بها. وتمت بعد ذلك دراسة إنشاء شبكة الأسس للحلقات، ومن أهم من كتب في ذلك Yu.M.Ryabukhin [1]، B. J. Gardner [4] وغيرهم....... يأتي موضوعنا هذا في إطار دراسة شبكة الأسس للحلقات، وكان الهدف من هذه الرسالة البحث عن إيجاد شبكات الأسس للحلقات والشبكات الجزئية فيها وخواصها، وتجيب هذه الدراسة عن المسألة المطروحة من خلال العالم (راجبوهين) J.M.Rjabuhin في [13] وهي: هل شبكة الأسس الخاصَّة S هي شبكة بول؟ ما هي العلاقة بين شبكة الأسس الخاصَّة S وشبكة الصُّفوف الخاصَّة SC؟ هل شبكة الأسس الخاصَّة المولدة بـ ∗- حلقة هي شبكة ذريّة؟ ومن أجل الإجابة عن التساؤلات السابقة تم تقسيم هذه الرسالة إلى ثلاثة فصول وقائمة بالمصطلحات العلمية وقائمة بالمراجع العلمية. تضمن الفصل الأول وهو بعنوان " تعاريف ومفاهيم أساسية " أهم المفاهيم والتعاريف التي سترد في الرسالة. أما الفصل الثاني والذي عنوانه " شبكات الأسس" فقد احتوى أهم المبرهنات حول الأسس وأشهر هذه الأسس التي درست من قبل كوث وجاكبسون وغيرهم....، وبيّنا فيه أن شبكة جميع الأسس L، رغم أنها شبكة تامة، ليست شبكة معيارية وبالتالي ليست شبكة بول. كما ذكرنا أمثلة أوضحنا فيها أن كلاً من شبكات الأسس المورِّثة، شبكة جميع الأسس معدومة القوة، وشبكة الأسس الخاصَّة ليست شبكات متمَّمة رغم إنها شبكات توزيعية تامة، وبالتالي فهي ليست شبكات بول. وهذا يجيب عن السؤال الأول من المسألة المطروحة

In this dissertation we proved some of results and theorems about the lattice of radicals of rings. To answer on the questions of J.M.Rjabuhin in [13 ]: Is the lattice of special radicals S is a Boolean lattice? What is the relationship between the lattice of special radicals S and the lattice of special radical classes SC? Is the lattice of special radicals which is Generated by *-ring is an atomic lattice? For that we showed that the lattice of all radicals L is not a modular lattice, so it is not a Boolean one. And we gived examples show that all of the lattices of hereditary , overnilpotent and special radicals are not complemented lattices , so also they are not Boolean ones; so we answered the first question. And we proved that all the atoms in the lattice of hereditary radicals are as l_Q where Q is a simple ring.