في هذا العمل تم تقديم طريقة الشريحة التجميعية للحل العددي لنوعين من المسائل. النوع الأول هو مسألة القيمة الحدية في المعادلات التفاضلية الخطية المعممة من المرتبة السادسة و النوع الثاني هو مسألة القيمة الابتدائية في المعادلات التفاضلية غير الخطية المعممة من المرتبة السادسة. تم إثبات أن الطريقة المذكورة عند تطبيقها لمثل هذه المسائل تكون موجودة بشكل وحيد بالإضافة إلى تقدير الأخطاء و تحليل التقارب. تبين الدراسة أن طريقة الشريحة بثلاث نقاط تجميعية تستطيع إيجاد الحلول العددية الشرائحية و مشتقاتها حتى المرتبة السادسة للمسائل الخطية و غير الخطية المطروحة و بالتالي فهي أداة فعالة للحل العددي لمثل هذه المسائل. تم إثبات فعالية وكفاءة الطريقة المقترحة بحل عدد من مسائل الاختبار و مقارنة النتائج التي تم التوصل إليها مع نتائج لطرائق أخرى.
In this paper, spline collocation method is considered for solving two forms of problems. The first form is general linear sixth-order boundary-value problem (BVP), and the second form is nonlinear sixth-order initial value problem (IVP). The existence, uniqueness, error estimation and convergence analysis of purpose methods are investigated. The study shows that proposed spline method with three collocation points can find the spline solutions and their derivatives up to sixth-order of the two BVP and IVP, thus is very effective tools in numerically solving such problems. Several examples are given to verify the reliability and efficiency of the proposed method. Comparisons are made to reconfirm the efficiency and accuracy of the suggested techniques.
Artificial intelligence review:
Research summary
في هذا البحث، تم تقديم طريقة الشريحة التجميعية لحل نوعين من المسائل الرياضية. النوع الأول هو مسألة القيم الحدية في المعادلات التفاضلية الخطية من المرتبة السادسة، والنوع الثاني هو مسألة القيم الابتدائية في المعادلات التفاضلية غير الخطية من المرتبة السادسة. تم إثبات وجود ووحدانية الحلول لهذه المسائل بالإضافة إلى تقدير الأخطاء وتحليل التقارب للطريقة المقترحة. أظهرت الدراسة أن طريقة الشريحة بثلاث نقاط تجميعية قادرة على إيجاد الحلول العددية الشرائحية ومشتقاتها حتى المرتبة السادسة للمسائل المطروحة، مما يجعلها أداة فعالة في الحل العددي لهذه المسائل. تم تقديم عدة أمثلة لتأكيد فعالية وكفاءة الطريقة المقترحة، وتمت مقارنتها مع طرق أخرى لإعادة تأكيد دقتها وكفاءتها.
Critical review
دراسة نقدية: تعتبر هذه الدراسة إضافة قيمة إلى مجال الحلول العددية للمعادلات التفاضلية من المرتبة السادسة، حيث تقدم طريقة جديدة وفعالة باستخدام الشريحة التجميعية. ومع ذلك، يمكن توجيه بعض الانتقادات البناءة لهذه الدراسة. أولاً، كان من الممكن تقديم تحليل أكثر تفصيلاً لتأثير عدد نقاط التجميع على دقة الحلول. ثانياً، كان من الممكن تضمين مقارنة مع عدد أكبر من الطرق العددية الأخرى لتقديم صورة أكثر شمولية عن فعالية الطريقة المقترحة. أخيراً، قد يكون من المفيد تقديم تطبيقات عملية إضافية لتوضيح كيفية استخدام الطريقة في مجالات مختلفة مثل الفيزياء والهندسة.
Questions related to the research
-
ما هي الأنواع الرئيسية للمسائل التي تم تناولها في البحث؟
النوع الأول هو مسألة القيم الحدية في المعادلات التفاضلية الخطية من المرتبة السادسة، والنوع الثاني هو مسألة القيم الابتدائية في المعادلات التفاضلية غير الخطية من المرتبة السادسة.
-
ما هي النقاط الرئيسية التي تم إثباتها في الدراسة؟
تم إثبات وجود ووحدانية الحلول، بالإضافة إلى تقدير الأخطاء وتحليل التقارب للطريقة المقترحة.
-
كيف تم اختبار فعالية وكفاءة الطريقة المقترحة؟
تم اختبار فعالية وكفاءة الطريقة المقترحة من خلال حل عدة أمثلة ومقارنتها مع نتائج طرق أخرى.
-
ما هي الفوائد الرئيسية لاستخدام طريقة الشريحة التجميعية في حل هذه المسائل؟
الفوائد الرئيسية تشمل القدرة على إيجاد الحلول العددية الشرائحية ومشتقاتها حتى المرتبة السادسة، مما يجعلها أداة فعالة في الحل العددي لهذه المسائل.
References used
KASI VISWANADHAM K.N.S. and Y. SHOWRI RAJU, Quintic B-spline Collocation Method for Sixth Order Boundary Value Problems, Global Journal of Researches in Engineering, Vol. 12 , No. 1 , 2012
RASHIDINIA J., M. GHASEMI, B-Spline Collocation For Solution of Two-Point Boundary Value Problems, Journal of Computation and Applied Math., 235, pp. 2325–2342, 2011
LAMNII A., H. MRAOUI, D. SBIBIH, A. TIJINI and A. ZIDNA, Spline Collocation Method for Solving Linear Sixth-Order Boundary-Value Problems, International Journal of Computer Mathematics, Vol. 85, No. 11, (2008)1673-1684