The Sommerfeld Asymptotic conditions for the Nowacki's potential problem of the Hooke elastic body in the case of nonzero body loads, harmonically varying in time

يتعلق البحث بنموذج لامي الرياضي لجسم مرن، متجانس متخاصص (أي:موحد خواص المرونة)، متماثل حراريا (أي متساوي درجات الحرارة)، و مهمل البنية الجزيئية، و ذي تشوهات صغيرة، ذلك في إطار النظرية الخطية للمرونة، التقليدية، و الموضوع من قبل الباحث Hooke ,و الذي نرمز له اختصارا بالرمز (H) . في البحث سنكتب أولا معادلات لامي غير المتجانسة، لأجل جسم هوك المرن (H) الذي يشغل في اللحظة الابتدائية منطقة بسيطة الترابط، وغير محدودة، في الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد R3 . بعدها، و باستخدام مبرهنة ستوكس-هيلمهولتز، سنناقش معادلات كمونات نوفاتسكي، للجسم المرن (H) . و من ثم سنعرض المعادلات الناتجة عن معادلات لامي، لأجل سعات الإزاحات، و ذلك عندما تتغير الإزاحات و الحمول الحجمية، توافقيا مع الزمن، كما سنعرض المعادلات الناتجة عن معادلات كمونات نوفاتسكي، لأجل سعات كمونات نوفاتسكي، وذلك عندما تتغير كمونات نوفاتسكي والحمول الحجمية، توافقياُ مع الزمن. و بعد عرض مبرهنتين هامتين، تعطيان تحويلين تكامليين، سطحيين- حجميين، لأجل مؤثر هيملهولتز التفاضلي، سنستنتج التمثيلات التكاملية، لحمول معادلات كمونات نوفاتسكي، على شكل تكاملات سطحية، على حدود منطقة ثنائية الترابط ، يشغلها جزء من الجسم، في لحظة البدء.و بعدها سنناقش الشروط المقاربية، من نوع سومرفيلد، لمحلول السابقة (التي توافق وجود حمول حجمية)، ذلك عندما تتباعد الحدود الخارجية للمنطقة ثنائية الترابط ، نحو اللانهاية.و تم انهاء البحث بعدد من المسائل الهامة، المفتوحة.

This paper concerns the mathematical, linear model of elastic, homogeneous and isotropic body, of neglected structure and of small elastic deformations in the frame of linear theory of elasticity; proposed by Hooke, and shortly called (H). In this paper, first, we write the displacement Lame equations for (H) elastic body, which initial configuration is unbounded, simply connected region in 3 R .Next, by using Stocks-Helmholtz theorem, we discuss the Nowacki's potential equations for the (H) elastic body. Then, we demonstrate the resulting equations from Lame equations for the displacement amplitudes, when the displacements and body loads varying harmonically in time. We, also demonstrate the resulting equations from the Nowacki's potential equations for the Nowacki's potential amplitudes, in the case when the Nowacki's potentials and body loads varying harmonically in time. Next, after demonstrating tow important theorems, giving volume-surface integral transforms for Helmholtz differential operators, we derive an integral representations for the solutions of the nonhomogeneous Nowacki's potential equations, all these in form of surface integrals on the boundary of tow-order connected region, occupied by a part of the body, in the initial moment. Then, we discuss the asymptotic conditions of Sommerfeld type for the above mentioned solutions (which relate to the nonzero body loads varying harmonically in time), when the external surface of the tow-order connected region tends to the infinity. Finally, we end this paper by some important open problems.