Discrete Stochastic Integration

نقدم في هذه المقالة لعبة حظ (لعبة بيترسبورغ) و نعممها على فضاء احتمالي كمثال عن عملية قابلة للتوقع و التي من خلالها نحصل على تكامل عشوائي منقطع بعد ذلك نعرف المارتينجال و نقدمه كعنصر تفاضلي جيد للتكامل العشوائي المنقطع الذي يدعى تحويل المارتينجال بواسطة عملية قابلة للتوقع. بعد ذلك نقدم أهم خصائص التكامل العشوائي المنقطع التي تتضمن بأن التكامل العشوائي المنقطع هو من جديد مارتينجال كما تشرح نظرية الاستقرار له و تعرف تباين مارتينجالين معطيين و تبين أن التكامل العشوائي متمركز بتباين محدد معطى. أخيراً نعرف تقسيم دوب والتباين التربيعي ونقدم صيغة العالم إتو كنوع محدد من تقسيم دوب .

We present in this article a game of chance (Saint Petersburg Paradox) and generalize it on a probability space as an example of a previsible (predictable) process, from which we get a discrete stochastic integration (DSI). Then we define a martingale and present it as a good integrator of a discrete stochastic integration ∫ , which is called the martingale transform of by such that is a previsible process. After that we present the most important properties of the DSI, which include that the DSI is also a martingale , the theorem of stability for it, the definition of the covariation of two given martingales and the proof that the DSI is centered with a specific given variance. Finally, we define Doob-decomposition and the quadratic variation and present Itȏformula as a certain sort of it.