Using Hamilton-Jacoby equation to study the relativistic theory of the electron and some of its applications

استخدمنا في هذه المقالة معادلة هاملتون- جاكوبي المعممة لدراسة الحركة النسبية للإلكترون في الحقل الكهرومغنطيسي الكيفي، اعتماداً على تابع الفعل (مبدأ الفعل الأصغري)، مع الأخذ بالحسبان العلاقة بين تابعي هاملتون و لاغرانج ، بدءاً من معادلتي الحركة و الطاقة للإلكترون في نظرية النسبية الخاصة، حيث تم اختيار اللاغرانجيان بحيث يكون من أجله مبدأ التغاير مساوياً للصفر و بالتالي تكون معادلة لاغرانج محققة، و قد تم الحصول على المجموعتين الأولى و الثانية لمعادلات هاملتون القانونية و من ثم على قانون انحفاظ تابع هاملتون، أي طاقة الالكترون. و قد شمل هذا البحث دراسة بعض تطبيقات معادلة هاملتون- جاكوبي على الحركة الحرة لجسيم و الحركة الدائرية و اللاتغايرات الكظومة و من ثم نُوقشت مسألة كبلر لذرة الهيدروجين في النظرية النسبية و تم استخراج معادلة مسار الحركة للإلكترون و حساب كل من طاقه و تواتر (تردد) الاهتزاز.

In this article, we used the generalized Hamilton-Jacoby equation to study the relative motion of the electron in the arbitrary electromagnetic field, depending on the action function(the principle of the least action), taking into account the relationship between the Hamilton and Lagrange functions(H  P  v  L ), starting with the equations of energy and motion for electron in the theory of special relativity, where the Lagrangian were chosen so that the principle of variation is equal to zero, thus the Lagrange equation was verified. The first and second sets of Hamilton's equations were obtained and then Hamilton's conservation law, ie electron energy. Study of some applications of the Hamilton-Jacoby equation on the free motion of the particle, circular motion and the adiabatic transformations was discussed. Kepler problem of the hydrogen atom was then discussed in relativistic theory. The equation of the motion path of the electron was calculated and the energy of the vibration and the frequency of the vibration were calculated.