Extremal Topologies

إذا كانت X مجموعة , τ توبولوجيا غير متقطعة على X فإن τ تسمى توبولوجيا متطرفة إذا كانـت كل توبولوجيا تحتوى τ احتواء فعلياً تكون متقطعة. الهدف الرئيس لهذه الورقة هو إثبات مبرهنة وجود للتوبولوجيات المتطرفة ثم إثبات مبرهنة ثانية يمكن بواسطتها تحديد شكل التوبولوجيات المتطرفة على مجموعة منتهية و باستخدام هاتين المبـرهنتين يتم إثبات مبرهنة تعطي عدد التوبولوجيات المتطرفة على مجموعة عدد عناصرها n.

If X is a set, τ is not a discrete topology on X then τ is called an extremal topology if every topology which is strictly finer than τ is discrete. The main purpose of this paper is to prove an existence theorem for extremal topologies and to prove a second theorem, which determines how an extremal topology on a finite set looks. By using these two theorems we prove a counting theorem which gives the number of extremal topologies on a set with n elements.