حلقـات بيـر المعممـة

موضوع هذا البحث هو دراسة العلاقة بين حلقة ماR و بين حلقة الإندومورفيزمات لمـودول حـرF، فوق هذه الحلقة. و بشكل خاص فقد تم وصف الحلقة التي تكون لأجلها حلقة الإندومورفيزمات لأي مودول حر فوقها، و هي حلقة بير المعممة. حيث تم إثبـات أن الـشرط الـلازم و الكـافي لكـي تكـون حلقـة الإندومورفيزمات لمودول حر حلقة بير هو أن يحوي كل مودول جزئي مغلق من هذا المودول الحر حـداً مباشراً. كذلك فقد تم إثبات أنه إذا كانت حلقة الاندومورفيزمات لمودول حر F حلقة بير المعممة, فإن كـل مودول جزئي دون فتل من F يحوي مودولاً إسقاطياً.

The object of this paper is to study the relationship between certain ring R and endomorphism rings of free modules over R. Specifically, the basic problem is to describe ring R, which is endomorphism ring of all free Rmodule, as a generalized right Bear ring. Call a ring R a generalized right Bear ring if any right annihilator contains a nonzero idempotent. A structure theorem is obtained: endomorphism ring of a free module F is a generalized right Bear ring if and only if every closed submodule of F contains a direct summand of F. It is shown that every torsionless R-module contains a projective R-module if endomorphism ring of any free R-module is a generalized right Bear ring.