Quantum Group of Isometries in Classical and Noncommutative Geometry

نحن نصيح تشكيلاً كيومانتيك لمفهوم مجموعة الإحداثيات الريمانية لهذا المنحدر الريماني المضغوط، عن طريق تدخل مفهوم طبيعي للتصرف الناعم والإحداثي للمجموعة الكيومانتيكة المضغوطة على المنحدر الكلاسيكي أو غير المترادف، والتي يتم وصفها بالمثال الطيفي، ومن ثم إثبات وجود كائن عالمي (الذي يسمى مجموعة الإحداثيات الكيومانتيكة) في الفئة المضغوطة الكيومانتيكة التي تصرف ناعماً وإحداثياً على المنحدر المعطى (الذي قد لا يكون مترادفاً) والذي يلبي الشروط المناسبة. في الواقع، نحن نحدد مجموعة الإحداثيات الكيومانتيكة بالكائن العالمي في الفئة الأكبر، وهي فئة العوائل الكيومانتيكة الناعمة الطيفية، التي تعرف على طول خط Woronowicz و Soltan. كما نبني المثال الطيفي على هيلبرت سبايس المنحدر الغير مترادف الذي يكون متطابقاً مع التمثيل الوحدي الطبيعي لمجموعة الإحداثيات الكيومانتيكة. نحن نعطي وصفاً مباشراً لمجموعات الإحداثيات الكيومانتيكة للمنحدرات المترادفة وغير المترادفة، وفي هذا السياق، نحصل على المنحدر المزدوج الكيومانتيك الذي تم تعريفه في المرجع cite{hajac} كمجموعة الكيومانتيكة العالمية للإحداثيات الهولومورفية للمنحدر الغير مترادف.

We formulate a quantum generalization of the notion of the group of Riemannian isometries for a compact Riemannian manifold, by introducing a natural notion of smooth and isometric action by a compact quantum group on a classical or noncommutative manifold described by spectral triples, and then proving the existence of a universal object (called the quantum isometry group) in the category of compact quantum groups acting smoothly and isometrically on a given (possibly noncommutative) manifold satisfying certain regularity assumptions. In fact, we identify the quantum isometry group with the universal object in a bigger category, namely the category of `quantum families of smooth isometries, defined along the line of Woronowicz and Soltan. We also construct a spectral triple on the Hilbert space of forms on a noncommutative manifold which is equivariant with respect to a natural unitary representation of the quantum isometry group. We give explicit description of quantum isometry groups of commutative and noncommutative tori, and in this context, obtain the quantum double torus defined in cite{hajac} as the universal quantum group of holomorphic isometries of the noncommutative torus.