أدوات التكامل المجموعة الخطأ الإحصائي

نقدم محللي المجموعة الجائزة لمعادلات الاختلافات الإحصائية الغير خطية مع مجالات الفيكتور الغير مترادفة التي تتطور حلها على بعد متناهي الأبعاد الناعم. بما أن يولد عملية المجموعة حملاً على الشبكة الناعمة، نجلب السيولة الإحصائية على الشبكة الناعمة إلى المجموعة الجائزة عبر العملية، ومن ثم نجلب السيولة إلى الجبر الجائزة المتعلق بها عبر الخرائط الأسيوية. نبني تقريباً للسيولة الإحصائية في الجبر الجائز عبر عمليات مغلقة، ومن ثم نعيدها إلى المجموعة الجائزة ومن ثم إلى الشبكة الناعمة، مما يضمن أن التقريب الخاص بنا يكون في الشبكة الناعمة. نسمي هذه الخطط خطط Munthe-Kaas الإحصائية بعد أصدقائها الخطط الغير خطية. كما نقدم خطط تكامل المجموعة الجائزة الإحصائية المستندة على طرق Castell--Gaines. وتتضمن هذه الطرق استخدام محلل خطي عادي كتقريب للسيولة التي تنشأ عن سلسلة الأسيوية الإحصائية المقطعة. وتصبح خطط تكامل المجموعة الجائزة الإحصائية إذا استخدمنا خطط Munthe-Kaas كمحلل خطي عادي. بالإضافة إلى ذلك، نظرنا في أن بعض طرق Castell--Gaines أكثر دقة بشكل متساوي من الخطط التايلور الإحصائية المقابلة. وأخيراً، نظرنا في توضيح طرقنا عن طريق محاكاة ديناميكا الجسم الحر الخاص بنا مثل الأقمار الصناعية والآليات البحرية الذاتية التي تصححت بواسطة معالجتين من الضوضاء الإحصائية المضاعفة.

We present Lie group integrators for nonlinear stochastic differential equations with non-commutative vector fields whose solution evolves on a smooth finite dimensional manifold. Given a Lie group action that generates transport along the manifold, we pull back the stochastic flow on the manifold to the Lie group via the action, and subsequently pull back the flow to the corresponding Lie algebra via the exponential map. We construct an approximation to the stochastic flow in the Lie algebra via closed operations and then push back to the Lie group and then to the manifold, thus ensuring our approximation lies in the manifold. We call such schemes stochastic Munthe-Kaas methods after their deterministic counterparts. We also present stochastic Lie group integration schemes based on Castell--Gaines methods. These involve using an underlying ordinary differential integrator to approximate the flow generated by a truncated stochastic exponential Lie series. They become stochastic Lie group integrator schemes if we use Munthe-Kaas methods as the underlying ordinary differential integrator. Further, we show that some Castell--Gaines methods are uniformly more accurate than the corresponding stochastic Taylor schemes. Lastly we demonstrate our methods by simulating the dynamics of a free rigid body such as a satellite and an autonomous underwater vehicle both perturbed by two independent multiplicative stochastic noise processes.