في هذه المقالة سنعرض ثلاثة موضوعات، الموضوع الأول بعنوان مبرهنة الفصل و التي تضع شرطًا لازمًا و كافيًا حتى يكون العدد n أوليًا، و باقي قسمته على العدد ٤ هو واحد، و شرطًا لازمًا و كافيًا حتى يكون العدد n أوليًا و باقي قسمته على العدد ٤ هو ٣. أما الموضوع الثاني فيبين لنا الحد الأدنى لعدد الأعداد الأولية المحصورة بين العددين الطبيعيين ٣^n و ( n + ١ )^3 و ذلك اعتمادًا على قاعدة ثشيبتشيف التقريبية. أما الموضوع الثالث فهو تعميم لمبرهنة صوفي جرمن التي تنص على أن كل عدد من الشكل عدد طبيعي أكبر من الواحد لن يكون أوليَا.