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The number of k-tons in the coupon collector problem

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 نشر من قبل John Saunders
 تاريخ النشر 2020
  مجال البحث
والبحث باللغة English
 تأليف J.C. Saunders




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Consider the coupon collector problem where each box of a brand of cereal contains a coupon and there are n different types of coupons. Suppose that the probability of a box containing a coupon of a specific type is $1/n$ and that we keep buying boxes until we collect at least $m$ coupons of each type. For $kgeq m$ call a certain coupon a $k$-ton if we see it $k$ times by the time we have seen $m$ copies of all of the coupons. Here we determine the asymptotic distribution of the number of $k$-tons after we have collected $m$ copies of each coupon for any $k$ in a restricted range, given any fixed $m$. We also determine the asymptotic joint probability distribution over such values of $k$ and the total number of coupons collected.



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We study how efficiently a $k$-element set $Ssubseteq[n]$ can be learned from a uniform superposition $|Srangle$ of its elements. One can think of $|Srangle=sum_{iin S}|irangle/sqrt{|S|}$ as the quantum version of a uniformly random sample over $S$, as in the classical analysis of the ``coupon collector problem. We show that if $k$ is close to $n$, then we can learn $S$ using asymptotically fewer quantum samples than random samples. In particular, if there are $n-k=O(1)$ missing elements then $O(k)$ copies of $|Srangle$ suffice, in contrast to the $Theta(klog k)$ random samples needed by a classical coupon collector. On the other hand, if $n-k=Omega(k)$, then $Omega(klog k)$ quantum samples are~necessary. More generally, we give tight bounds on the number of quantum samples needed for every $k$ and $n$, and we give efficient quantum learning algorithms. We also give tight bounds in the model where we can additionally reflect through $|Srangle$. Finally, we relate coupon collection to a known example separating proper and improper PAC learning that turns out to show no separation in the quantum case.
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This paper focuses on the Coupon Collectors Problem with replacement (limited purchasing of missing stickers) and swapping. We have simulated combined strategies and found new results, which we were able to prove for a particular case. The ratio of t he average number of stickers needed to fill the album by the album size (number of different stickers needed) and the number of collectors as well as the ratio of the variance and the album size depend approximately only on the percentage of replacement stickers (the limited number of stickers that can be bought directly from the vendor) and the number of collectors, but not on the total album size. Thus collectors can estimate the average cost of completion of an album and its standard deviation just based on basic calculations and a table lookup. Additionally we could show that asymptotocally the effect of replacement is stronger than swapping. ----- In diesem Artikel wird das Sammelbilderproblem mit Nachkaufen und Tauschen untersucht. Wir haben mit Hilfe von Simulationen neue Ergebnisse gefunden und sie auch in einem Spezialfall bewiesen. Das Verhaltnis der mittleren Anzahl zu kaufender Karten pro Sammler als auch das Verhaltnis der Varianz zur Albumgro{ss}e hangt in sehr guter Naherung nur vom Anteil der nachkaufbaren Karten ab, aber nicht von der Albumgro{ss}e. Damit konnen Sammler anhand des Prozentsatzes der Nachkaufkarten die mittleren Kosten eines Albums sowie deren Standardabweichung nur mit einer Tabelle und Grundrechenarten bestimmen. Ausserdem konnten wir belegen, dass asymptotisch der Effekt des Nachkaufens starker ist als der des Tauschens.
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