A remark on the number of steady states in a multiple futile cycle

حلقة التفوّق المتعددة المواقع هي نموذج مستخدم مراراً في الإشارة الخلوية. هذا النموذج يمكن أن ينتج مجموعة متنوعة من السلوكيات الحيوية مثل الثنائية الثباتية والحساسية الأقصى بدون تأثيرات إيجابية مباشرة. في هذا البحث، نحن ندرس عدد الحالات الثابتة الإيجابية لحلقة التفوّق المتعددة المواقع العامة، وكيف يتغيّر عدد الحالات الثابتة الإيجابية بتغيير المعلمات الحيوية. نظرياً، نظراً لبعض نطاقات المعلمات، هناك على الأقل n+1 حالات ثابتة (إذا كان n زوجياً) أو n (إذا كان n فردياً). ولا يوجد أكثر من 2n-1 حالات ثابتة (وبالتالي، يعني ذلك أنه لن يكون هناك أكثر من ثلاث حالات ثابتة ل n=2، بما في ذلك كاساد المابك المتعددة المستويات). وعند المعلمات القريبة من شروط الثابتية المايكليس-مينتن القياسية، فإن هناك على الأكثر حالات ثابتة n+1. وعند المعلمات البعيدة عن شروط الثابتية المايكليس-مينتن القياسية، فإن هناك على الأكثر حالة ثابتة واحدة.

The multisite phosphorylation-dephosphorylation cycle is a motif repeatedly used in cell signaling. This motif itself can generate a variety of dynamic behaviors like bistability and ultrasensitivity without direct positive feedbacks. In this paper, we study the number of positive steady states of a general multisite phosphorylation-dephosphorylation cycle, and how the number of positive steady states varies by changing the biological parameters. We show analytically that (1) for some parameter ranges, there are at least n+1 (if n is even) or n (if n is odd) steady states; (2) there never are more than 2n-1 steady states (in particular, this implies that for n=2, including single levels of MAPK cascades, there are at most three steady states); (3) for parameters near the standard Michaelis-Menten quasi-steady state conditions, there are at most n+1 steady states; and (4) for parameters far from the standard Michaelis-Menten quasi-steady state conditions, there is at most one steady state.